Matematica discreta Esempi

$5^{2 x} + 5^{x + 1} - 24 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $5^{x + 1}$ come $5^{x} \cdot 5^{1}$ .

$5^{2 x} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi $5^{2 x}$ come ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Passaggio 1.3

Sia $u = 5^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $5^{x}$ con $u$ .

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Passaggio 1.3.1

Calcola l'esponente.

$u^{2} + u \cdot 5 - 24 = 0$

Passaggio 1.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $u$ .

$u^{2} + 5 u - 24 = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi $u^{2} + 5 u - 24$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 24$ e la cui somma è $5$ .

$- 3, 8$

Passaggio 1.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 3) (u + 8) = 0$

Passaggio 1.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5^{x}$ .

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 8 = 0$

Passaggio 3

Imposta $5^{x} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $5^{x} - 3$ uguale a $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $5^{x} - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5^{x} = 3$

Passaggio 3.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

Passaggio 3.2.3

Espandi $\ln (5^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (3)$

Passaggio 3.2.4

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $x \ln (5) = \ln (3)$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.4.1

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $x \ln (5) = \ln (3)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Passaggio 3.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

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Passaggio 3.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Passaggio 4

Imposta $5^{x} + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $5^{x} + 8$ uguale a $0$ .

$5^{x} + 8 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $5^{x} + 8 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5^{x} = - 8$

Passaggio 4.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 8)$

Passaggio 4.2.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 8)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.2.4

Non c'è soluzione per $5^{x} = - 8$

Nessuna soluzione

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$ vera.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Forma decimale:

$x = 0.68260619 \dots$